Hénon族的参数轨迹

本文旨在研究Hénon族 $f_{a, b} : (x, y) \mapsto (x^2-a-by, x)$ 的动力学，其中 $(a, b)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R}^{\times}$ 为参数~\cite{H}。我们关注两类参数轨迹 $(a, b)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{\times}$ 的某些几何与拓扑结构，对于这些参数 $f_{a, b}$ 具有共同的动力学性质；其一为\textit{双曲马蹄轨迹}（hyperbolic horseshoe locus），即 $f_{a, b}$ 在其非游荡集上的限制是双曲的且与双符号全移位拓扑共轭；其二为\textit{最大熵轨迹}（maximal entropy locus），即 $f_{a, b}$ 的拓扑熵在所有Hénon映射中达到最大值 $\log 2$。本文的主要结果表明，这两个轨迹由参数空间 $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{\times}$ 中从 $b$ 轴到 $a$ 轴的实解析函数图所刻画，该结果在完全一般性上推广了Bedford和Smillie先前对于 $|b|<0.06$ 的结论。作为该结果的推论，我们证明：(i) 两个轨迹在 $\{b>0\}$ 和 $\{b<0\}$ 中均连通且单连通；(ii) 双曲马蹄轨迹的闭包与最大熵轨迹重合；(iii) 两个轨迹的边界相同且为分段解析，具有两个解析片段。其中，推论(i)表明了拓扑熵作为参数函数 $(a, b)\mapsto h_\mathrm{top}(f_{a, b})$ 在其最大值处的弱单调性。