关于非线性微分系统发散级数解的最优截断；Berry 平滑

我们证明，对于在一般不规则奇点附近的非线性（或线性）微分系统的发散级数解，求和至最末项这一通常的规定若被恰当解释则是有意义且正确的，并将此方法推广到横级数解。在奇点的复平面上的每个方向（Stokes 方向{\em 不}除外），都存在一个非空解集合，其与“最优地”（即接近最末项）截断的渐近级数的差，与级数最末项同阶（指数小）。存在一族与通常代数和解析运算（加法、乘法、求导等）可交换的广义 Borel 求和公式 $\mathcal{B}$。我们证明其中恰有一个 $\mathcal{B}_0$，使得对任意形式级数解 $\tilde{f}$，$\mathcal{B}_0(\tilde{f})$ 与 $\tilde{f}$ 的最优截断之差至多为 $\tilde{f}$ 最末项的阶。我们进一步证明，Berry (1989) 平滑现象在这类微分系统内是普适的。每当“超越所有阶”的项在跨越 Stokes 线时{\em 改变}，这些项在 Berry 标度 $\arg(x)\sim |x|^{-1/2}$ 上光滑变化，且过渡总由误差函数给出；在相同条件下我们证明 Dingle 的 Stokes 过渡符号规则成立。