局部大偏差原理的必要与充分条件

若存在函数 D:ℝ^d→[0,∞]，D≢∞,使得对任意 α∈ℝ^d，都有 lim_{T→∞}T^{-1}ln P(|ζ_T -α|<ε_T)= -D(α) 成立，其中 ε_T 趋于 0 且足够缓慢，则可称族群 {ζ_T}_{T≥0} 满足局部大偏差原理（LLDP）。本文建立了关于 LLDP 的必要充分条件，二者彼此相邻。具体而言，若满足 LLDP，则对 M_T→∞ 足够缓慢的情况下，存在极限 A(μ):= lim_{T→∞}T^{-1}ln E(e^{T⟨μ,ζ_T⟩}; |ζ_T|≤M_T)∈(-∞,∞]，其中 A(μ) 等于率函数 D 的 Legendre-Fenchel 变换 L_D。反之，若上述极限 A(·) 存在且为基本光滑函数，则 LLDP 以率函数 D 等于 L_A 满足。该“松化版本”的 Gartner-Ellis 定理主要条件不涉及后者的限制可积性假设，更适合局部大偏差问题的本质。