关于 CAT(-1) 空间边界之间的 Moebius 映射与共形映射

我们考虑装备了视觉度量的 CAT(-1) 空间 $X,Y$ 的边界之间的 Moebius 和共形同胚 $f : \partial X \to \partial Y$。共形映射 $f$ 诱导 $X$ 和 $Y$ 的测地流的一个拓扑共轭，若 $f$ 是 Moebius 的，则该拓扑共轭是翻转等变的。我们定义了一个函数 $S(f) : \partial ^2 X \to \mathbb{R}$，即 $f$ 的 {\it 积分 Schwarzian}，它衡量拓扑共轭偏离翻转等变的程度，特别地，当 $f$ 是 Moebius 的时它为零。反之，如果 $X,Y$ 是具有夹紧负截面曲率的单连通完备流形，那么对于任何使得 $S(f)$ 在 $\partial^2 U$ 上为零的开集 $U \subset \partial X$，$f$ 在 $U$ 上是 Moebius 的。事实上，我们得到了用积分 Schwarzian 表示的交比畸变的显式公式。对于此类流形，我们证明了存在 Moebius 同胚 $f : \partial X \to \partial Y$ 当且仅当测地流存在具有沿测地线某种一致连续性质的拓扑共轭 $\phi : T^1 X \to T^1 Y$。我们证明了如果 $X,Y$ 是 proper、测地完备的 CAT(-1) 空间，那么任何 Moebius 同胚 $f$ 都可延拓为 $(1, \log 2)$-拟等距映射，且其像在 $Y$ 中是 $\frac{1}{2}\log 2$-稠密的。我们证明了如果 $X,Y$ 额外还是度量树，那么 $f$ 可延拓为满等距映射。对于有界积分 Schwarzian 且定义域 $X$ 为具有截面曲率下界的单连通负曲率流形的 $C^1$ 共形映射 $f : \partial X \to \partial Y$，类似的论证表明 $f$ 可延拓为 $(1, \log 2 + 12||S(f)||_{\infty})$-拟等距映射。我们还获得了 Moebius 自映射 $f : \partial X \to \partial X$ 的动力学分类，分为椭圆型、抛物型和双曲型三种类型。