关于 $M_n$ 上的极小范数

在本注记中，我们证明对于所有 $n \times n$ 复矩阵代数 $M_n$ 上的每个极小范数 $N(\cdot)$，存在 ${\mathbb C}^n$ 上的范数 $\|\cdot\|_1$ 和 $\|\cdot\|_2$，使得对于所有 $A \in M_n$，有 $$N(A)=\max\{\|Ax\|_2: \|x\|_1=1, x\in {\mathbb C}^n\}$$。这可被视为关于极小代数范数刻画的一个已知结果的推广。