马勒-波普肯复杂度函数的二元版本

自然数 $n$ 的（马勒-波普肯）复杂度 $\| n \|$ 是指通过乘法和加法的组合，以合法嵌套的方式排列括号，用来表示 $n$ 所需的最少数字 1 的个数。我们通过定义 $\| n \|_{m}$ 来推广 $\| \cdot \|$，对于固定的 $m \in \mathbb{N}$，$\| n \|_{m}$ 表示从 $\{ 1, 2, \ldots, m \}$ 中可能重复选取（计入重复次数）的最少数字个数，这些数字可以与之前相同的运算和括号符号一起用来表示 $n$。正如我们所探讨的，$\|\cdot\|_{2}$ 与给定自然数的最短加法链长度之间存在密切关系。这说明了 $(\| n \|_{2} : n \in \mathbb{N} )$ 目前未被收录于整数序列在线百科全书，并且显然之前未被研究过，是多么引人注目。这反过来又激发了我们对该复杂度函数 $\| \cdot\|_{2}$ 的探索，我们证明了 $\|\cdot\|_{2}$ 的显式上界和下界，并描述了关于 $\|\cdot\|_{2}$ 的一些问题和进一步的研究领域。