关于 SO(10) 的 Lusternik-Schnirelmann 范畴

设 $G$ 为紧致连通 Lie 群，$p : E\to \Sigma A$ 为具有特征映射 $\alpha : A\to G$ 的主 $G$-丛，其中对于某个 $A_{0}$ 有 $A=\Sigma A_{0}$。设 $\{K_{i}{\to} F_{i-1}{\hookrightarrow} F_{i} \,|\, 1{\le} i {\le} n,\, F_{0}{=} \{\ast\} \; F_{1}{=} \Sigma{K_{1}} \; \text{and}\; F_{n}{\simeq} G \}$ 为长度为 $m$ 的 $G$ 的锥分解，且 $F'_{1}=\Sigma{K'_{1}} \subset F_{1}$ 满足 $K'_{1} \subset K_{1}$ 以及对于任意 $i$ 在同伦意义下 $F_{i}F'_{1} \subset F_{i+1}$。我们的主要结果如下：如果首先特征映射 $\alpha$ 可压缩进 $F'_{1}$，其次 Berstein-Hilton Hopf 不变量 $H_{1}(\alpha)$ 在 $[A, \Omega F'_1{\ast}\Omega F'_1]$ 中为零，且第三 $K_{m}$ 是一个球面，则有 $\operatorname{cat}(X) \le m{+}1$。我们将此应用于主丛 $\mathrm{SO}(9)\hookrightarrow\mathrm{SO}(10)\to S^{9}$ 以确定 $\mathrm{SO}(10)$ 的 L-S 范畴。