主丛上的 Newlander-Nirenberg 定理

设 $G$ 为任意（不必同构于 $\mathrm{GL}(r,\mathbb{C})$ 的闭子群）复李群，$U$ 为复流形，$p:P\to U$ 为 $U$ 上的 $\mathcal{C}^\infty$ 主 $G$-丛。我们引入并研究 $P$ 上 Hölder 类 $\mathcal{C}^\kappa$ 的丛近复结构空间 $\mathcal{J}^\kappa_P$。对任一 $J\in \mathcal{J}^\kappa_P$，我们关联一个 $U$ 上类型为 (0,2) 的 $\mathrm{Ad}(P)$-值形式 $\mathfrak{f}_J$，它应被解释为 $J$ 的可积性障碍。对 $\kappa\geq 1$，我们有 $\mathfrak{f}_J\in\mathcal{C}^{\kappa-1}(U,\bigwedge\hspace{-3.5pt}^{0,2}_{\,\,U}\otimes\mathrm{Ad}(P))$，而对 $\kappa\in[0,1)$，$\mathfrak{f}_J$ 是具有分布系数的形式。设 $J\in \mathcal{J}^\kappa_P$ 且 $\kappa\in (0,+\infty]\setminus\mathbb{N}$。我们证明 $J$ 局部容许 $\mathcal{C}^{\kappa+1}$ 类的 $J$-伪全纯截面当且仅当 $\mathfrak{f}_J=0$。若如此，$J$ 按复流形上主丛理论的意义定义了 $P$ 的底层 $\mathcal{C}^{\kappa+1}$-丛的全纯约化。证明基于带边界的紧严格伪凸复流形上 $\bar\partial$-Neumann 算子的经典正则性结果。该结果将用于致力于紧复流形 $X$ 上沿实超曲面 $S\subset X$ 标架的全纯丛模空间的后继文章。