关于磁拉普拉斯算子本征函数的局域化

设 $\Omega \subset \mathbb{R}^d$，考虑由 $H(A) = \left(- i\nabla - A(x)\right)^2$ 给出的磁拉普拉斯算子，其中 $A:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^d$，并取狄利克雷本征函数条件。对于某些向量场 $A$，该算子可有本征函数 $H(A) \psi = \lambda \psi$ 在 $\Omega$ 的小区域内高度局域化。本文的主要目标是证明：若 $|\psi|$ 在 $x_0 \in \Omega$ 处取得最大值，则 $A$ 在 $x_0$ 的 $1/\sqrt{\lambda}-$邻域内以精确意义‘几乎’表现为保守向量场：我们预期局域化出现在 $\left|\mbox{curl} A \right|$ 较小的区域。结果以数值例子加以说明。