Bloch-Torrey 算子特征函数在半平面上的局部化

我们考察算子 $-h^2 \Delta + i(V(x) + \alpha(x)y)$ 在上半平面 $y > 0$ 上的特征函数，其中在 $\{y = 0\}$ 上施加 Dirichlet 边界条件，$V \geq 0$，$V$ 在 $x = 0$ 处具有非退化极小值且 $\alpha'(0) = 0$。我们研究其在半经典极限 $h \to 0$ 下与最小特征值相关的特征函数。初等变分估计表明，这些特征函数在 $x$ 方向为 $O(h^{1/3})$，在 $y$ 方向为 $O(h^{2/3})$ 的尺度靠近点 $(0,0)$ 局部化。在本文中，我们证明 $O(h^{1/3})$ 在 $x$ 方向的局部化并非最优；更准确地，我们建立特征函数在 $\{x = 0\}$ 轴上大小为 $O(h^{1/2})$ 的邻域中集中，这一尺度被证明是尖锐的。该证明依赖于算子值类伪微分算子的符号计算。