具非局部扰动的线性周期 Schrödinger 算子的局域模式

我们考虑具有界面的周期 Schrödinger 算子 $-\partial_x^2+ V(x)$ 的特征值对应的局域模式的存在性。该界面由 $V(x)$ 的值或导数的跳跃来建模，并且通常不对应于完全周期算子的局域扰动。此外，界面两侧的周期势可以不同。如我们所证，特征值只能出现在谱隙中。我们将该特征值问题表述为界面两侧二阶常微分方程基本解（Bloch 函数）的 $C^1$ 粘合问题。因此，该问题被简化为寻找比率函数 $R_\pm=\frac{\psi_\pm'(0)}{\psi_\pm(0)}$ 的匹配，其中 $\psi_\pm$ 是在各自半轴上衰减的 Bloch 函数。这些比率函数借助 Prüfer 变换进行分析。$R_\pm$ 在能带边缘的极限值取决于隙边缘 Dirichlet 和 Neumann 特征值的排序。我们证明，对于满足特定单调性条件的势，可以通过变分分析确定前两个隙中的排序。我们给出了界面特征值的数值计算以证实该分析。