细薄无限梯状区域中的陷俘模式：第一部分：存在性结果

本文研究特定二维结构中的波传播，该结构由参考周期介质的局部扰动获得。该参考介质是梯状区域，即薄周期结构（厚度由小参数 $\epsilon > 0$ 表征），其极限（当 $\epsilon$ 趋于 0 时）为周期图。局部扰动在于通过改变梯子的一根横档的厚度来改变参考介质的几何形状。在该区域中考虑带有 Neumann 边界条件的标量 Helmholtz 方程，我们探讨这种几何扰动是否能够产生局域本征模式。为了解决这个问题，我们使用标准的渐近分析方法，包括三个主要步骤。我们首先找到当 $\epsilon$ 趋于 0 时本征值问题的形式极限。在本例中，它对应于沿周期图定义的二阶微分算子的本征值问题。然后，我们显式计算极限算子的谱。最后，我们证明初始算子的谱接近极限算子的谱。特别地，我们证明如果几何扰动在于减小周期薄结构的一根横档的宽度，则存在局域模式。此外，在这种情况下，只要 $\epsilon$ 足够小，就可以产生任意多的本征值。数值实验验证了理论结果。