代数函子的同构条件及其在 Leavitt 路径代数中的应用

我们引入从交换环范畴（及相关范畴）到 $\mathbb{Z}$-代数（不必结合或交换）范畴的某些函子。一个 motivating 例子是给定图 $E$ 的 Leavitt 路径代数函子 $R\mapsto L_R(E)$。我们的目标是寻找如下类型的“下降”同构结果：若 $\mathfrak{F},\mathcal{G}$ 为代数函子且 $K\subset K'$ 为域扩张，则在何种条件下 $K'$-代数同构 $\mathfrak{F}(K')\cong \mathcal{G}(K')$ 蕴含存在 $K$-代数同构 $\mathfrak{F}(K)\cong\mathcal{G}(K)$？我们对所谓“扩张不变函子”给出了该问题的若干肯定回答，这类函子包括与 Leavitt 路径代数、Steinberg 代数、路径代数、群代数、演化代数等相关的函子。为此，我们采用了对可能无穷多变量多项式的 Hilbert 零点定理的一个推广作为主要工具之一。我们还指出，对于扩张不变函子 $\mathfrak{F},\mathcal{G}$，某个 Hopf $K$-代数 $H$ 上的同构 $\mathfrak{F}(H)\cong\mathcal{G}(H)$ 蕴含对任意交换含幺 $K$-代数 $S$ 存在同构 $\mathfrak{F}(S)\cong\mathcal{G}(S)$。