乘法类型群的次数为一的Milnor $K$-不变量

设$G$为域$F$上的交换仿射代数群，并设$H \colon \mathrm{Fields}_{F} \to \mathrm{AbGrps}$为一个函子。$G$的（同态）$H$-不变量是一个自然变换$\mathrm{Tors}(-, G) \to H$，其中$\mathrm{Tors}(-, G)$是函子$\mathrm{Fields}_{F} \to \mathrm{AbGrps}$，它将域扩张$L/F$映射到$\mathrm{Spec}(L)$上$G_{L}$-torsor的同构类群。本文的目标是计算当$G$为乘法类型群，且$H$为将域扩张$L/F$映射到$L^{\times} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$的函子时，$G$的$H$-不变量群$\mathrm{Inv}_{\mathrm{hom}}^{1}(G, H)$。