同调不变量的可定义内容 I：$\mathrm{Ext}$ 与 $\mathrm{lim}^1$

这是系列论文的第一篇，其中我们阐明同调代数与代数拓扑的经典不变量如何被赋予额外的描述集合论信息。为实现此种丰富化，我们证明这些不变量中有许多可自然视为本文引入的、具有 Polish 覆盖的群范畴上的函子。所得的可定义不变量提供了远为强健的分类手段。在本文中我们聚焦于 $\mathrm{Hom}(-,-)$ 与 $\mathrm{lim}(-)$ 的首个导出函子。对可数阿贝尔群对 $B,F$ 所得的可定义 $\mathrm{Ext}(B,F)$，以及对 Polish 阿贝尔群塔 $\boldsymbol{A}$ 所得的可定义 $\mathrm{lim}^{1}(\boldsymbol{A})$，实质性地细化了它们的经典对应物。例如我们证明，可定义 $\textrm{Ext}(-,\mathbb{Z})$ 是无自由直和项、有限秩无挠阿贝尔群 $\Lambda$ 范畴上的完全忠实反变函子；这与存在不可数多个互不同构、却具有同构经典不变量 $\textrm{Ext}(\Lambda,\mathbb{Z})$ 的此类群 $\Lambda$ 这一事实形成对比。为便利分析，我们引入了具有 Polish 覆盖的群的一般 Ulam 稳定性框架，并证明了若干关于具有 Polish 覆盖的非阿基米德阿贝尔群的刚性结果。我们主要结果的一个特例回答了 Kanovei 与 Reeken 关于 $p$-进群商的一个问题。最后，利用性质 (T) 群的 profinite 作用的闭链超刚性方法，我们对当 $\Lambda =\mathbb{Z}[1/p]^{d}$（$p$ 为素数且 $d\geq 1$）时，分类所有 $\Lambda$ 被 $\mathbb{Z}$ 的群扩张至基自由同构的这一问题 $\mathcal{R}(\mathrm{Aut}(\Lambda)\curvearrowright\mathrm{Ext}(\Lambda,\mathbb{Z}))$ 给出了复杂度层次的刻画。