图的逆幂与 Hedetniemi 猜想的拓扑推论

我们考虑一种自然的图运算 $\Omega_k$，它是取图的 k 次幂的某种逆（形式上：右伴随）。我们证明它保持盒复形的拓扑（$\mathbb{Z}_2$-同伦型），这是拓扑组合学中的基本工具。此外，我们证明图的盒复形承认到图 H 的盒复形的 $\mathbb{Z}_2$-映射（等变连续映射）当且仅当对于足够大的 k，图 $\Omega_k(G)$ 承认到 H 的同态。这允许表明：如果关于图乘积色数的 Hedetniemi 猜想对 n-着色成立，则拓扑中以下类似猜想也将成立：如果 X,Y 是 $\mathbb{Z}_2$-空间（有限 $\mathbb{Z}_2$-单纯复形），使得 X x Y 承认到 (n-2) 维球面的 $\mathbb{Z}_2$-映射，则 X 或 Y 自身承认这样的映射。我们讨论此及其他推论，论证该拓扑猜想的重要性。