关于某些可逆系统中的不变环面

在本文中，我们考虑如下可逆系统 \begin{equation*} \begin{cases} \dot{x}=\omega_0+f(x,y),\\ \dot{y}=g(x,y), \end{cases} \end{equation*} 其中 $x\in\mathbf{T}^{d}$，$y\backsim0\in \mathbf{R}^{d}$，$\omega_0$ 是丢番图的，$f(x,y)=O(y)$，$g(x,y)=O(y^2)$，且 $f$、$g$ 关于对合 G: $(x,y)\mapsto(-x,y)$ 可逆，即 $f(-x,y)=f(x,y)$，$g(-x,y)=-g(x,y)$。我们研究具有丢番图频率 $\omega_0$ 的可逆系统的解析不变环面 $\Gamma_0$ 被其他不变环面累积的现象。我们将证明：若 $\Gamma_0$ 周围的 Birkhoff 范式是 0-退化的，则 $\Gamma_0$ 被其他解析不变环面累积，这些环面之并的 Lebesgue 测度为正，且这些环面之并在 $\Gamma_0$ 处的密度为 1。我们还将证明：若 $\Gamma_0$ 周围的 Birkhoff 范式是 $j$-退化的（$1\leq j\leq d-1$）且满足条件 (1.6)，则穿过 $\Gamma_0$ 存在一个维数为 $d+j$ 的解析子簇，其叶状分解为具有频率向量 $\omega_0$ 的解析不变环面。若 $\Gamma_0$ 周围的 Birkhoff 范式是 $d-1$-退化的，我们将证明一个更强的结果，即 $\Gamma_0$ 的一个完整邻域叶状分解为具有正比于 $\omega_0$ 的频率向量的解析不变环面。