自由群中正规子群的独立族

考虑表示 $\mathcal{P}=<{\bf x}\mid{\bf \bigcup_{i=1}^n r_i}>$。设 ${\bf R_i}$ 为集合 ${\bf r_i}$ 在以 ${\bf x}$ 为基的自由群 ${\bf F}$ 中的正规闭包，$\mathcal{P}_i=<{\bf x}\mid{\bf r_i}>$，${\bf N_i} = \prod_{j\neq i}{\bf R_j}$。在本文中，利用图的几何技术，从 $\pi_2(\mathcal{P})$ 在 $\{\mathcal{P}_i\mid i=1,..., n\}$ 上的一组生成元中，获得了 $\frac{{\bf R_i}\cap {\bf N_i}}{[{\bf R_i}, {\bf N_i}]}$ ($i=1,...,n$) 的生成元。作为推论，我们得到了族 $\{{\bf R_1},...,{\bf R_n}\}$ 独立的充分条件。