关于具有任意阶单临界点的高阶 Szegő 定理

我们证明了如下高阶 Szegő 定理：若单位圆上的测度具有绝对连续部分 $w(\theta)$ 且其 Verblunsky 系数 $\alpha$ 具有平方可和变差，则对于任意正整数 $m$，积分 $\int (1-\cos \theta)^m \log w(\theta) d\theta$ 有限当且仅当 $\alpha \in \ell^{2m+2}$。这是在该类极慢衰减情形下（即具有任意大 $p$ 的 $\ell^p$ 条件）首个已知的等价性结果。通过一种新的测试序列方法，避免了控制高阶求和规则的传统困难。