OPUC 中单临界点高阶 Szegő 和差的必要条件

对于单临界点权重 $H_m(e^{i\theta})=(1-\cos\theta)^m$, $m\ge1$，我们证明了单位圆上高阶 Szegő 定理的必要性部分。若 $\{\alpha_n\}_{n\ge0}$ 是非平凡概率测度 $d\mu=w(\theta)d\theta/(2\pi)+d\mu_{\mathrm s}$ 的 Verblunsky 系数，则加权 Szegő 条件 $\int_0^{2\pi} (1-\cos\theta)^m\log w(\theta)\frac{d\theta}{2\pi}>-\infty$ 蕴含 $\Delta^m\alpha\in\ell^2, \,\, \alpha\in\ell^{2m+2}.$ 证明使用了 Yan 高阶和差的有限体积版本。二次部分产生 $m$ 阶差分能量，对数尾部产生 $\ell^{2m+2}$ 控制。非符号定号临界项分两步处理。首先，利用 Yan 商代数正规代表元分离出四次主临界块，并证明其具有半正定 Gram 表示。其次，利用对角消失性质 $\mathcal Y_{k,\mathrm{crit}}^{(m)} \in \mathfrak I_k^{\,m+1-k}, \,\, 2\le k\le m,$ 结合 Breuer--Simon--Zeitouni 正规型、离散插值和 Young 不等式控制剩余的非主临界项。这些估计产生一致的有限体积强制界，由此对所有 $m\ge1$ 推出必要性定理。