论埃尔米特问题、雅可比-佩龙型算法与狄利克雷群

1848 年 Ch. Hermite 问道是否存在某种将三次无理式周期写出的方法。稍后，为逼近该问题，C.G.J. Jacobi 与 O. Perron 将经典连分数算法推广至三维情形，此算法现称为雅可比-佩龙算法。已知该算法仅对部分三次无理式给出周期性。本文引入两种雅可比-佩龙算法精神下的新算法：启发式代数周期检测算法与 $\sin^2$-算法。启发式代数周期检测算法是一种非常快速高效的算法，其对大量三次无理式例子输出为周期，但其对三次无理式的周期性尚未被证明。$\sin^2$-算法限于全实三次情形（三次多项式的所有根均为实数）。在近期论文~\cite{Karpenkov2021} 中我们证明了 $\sin^2$-算法对所有全实三次无理式的周期性。据我们所知，这是首个被证明具有三次周期性的雅可比-佩龙型算法。$\sin^2$-算法给出了全实情形下对埃尔米特问题的回答（需指出具有复共轭根的三次代数数情形仍开放）。我们以雅可比-佩龙型算法在计算代数无理式交换矩阵极大群中独立元素的一个重要应用作结。