论全局亚椭圆阿贝尔作用及其在齐性空间上的存在性

我们将光滑 $\mathbb R^k$ 作用的全局亚椭圆性定义为：沿轨道叶状结构的叶式拉普拉斯算子是全局亚椭圆微分算子的那些作用。当 $k=1$ 时，Greenfield-Wallach 与 Katok 猜想此类作用具有强全局刚性：每个此类作用都光滑共轭于环面上的丢番图流。该猜想已在齐性空间上的所有齐性流上得到证实 \cite{FFRH}。在本文中我们猜想，在齐性空间上的齐性 $\mathbb R^k$ 作用（$k\ge 2$）中，全局亚椭圆作用仅存在于幂零流形上。我们获得朝向该猜想的部分结果：对具有至少一个拟幂零生成元的齐性空间 $G/\Gamma$（其中 $G= SL(n, \mathbb R)$），我们证明全局亚椭圆 $\mathbb R^2$ 作用不存在。我们还证明，可解流形上同类型的作用光滑共轭于幂零流形上的齐性作用。