关于(n,m)-函数的迪龙性质

Dillon观察到，当$n>2$时，$\mathbb{F}_2^{n}$上的APN函数$F$必须满足$\{F(x) + F(y) + F(z) + F(x + y + z) \,:\, x,y,z \in\mathbb{F}_2^n\}= \mathbb{F}_2^n$这一条件。最近，Taniguchi（2023）将这一条件推广到从$\mathbb{F}_2^n$到$\mathbb{F}_2^m$（$m>n$）的函数，称之为D-性质。Taniguchi给出了满足D-性质的APN函数的一些刻画，并提供了一些从$\mathbb{F}_2^n$到$\mathbb{F}_2^{n+1}$满足该性质的APN函数族。本文中，我们进一步研究$m\ge n$时$(n,m)$-函数的D-性质。我们给出了此类函数存在时维数$m$的一些组合界。接着，我们用Walsh变换刻画了D-性质，并对二次函数给出了基于ANF的该性质刻画。我们还简化了二次函数D-性质的检验方法，从而推广了Taniguchi提供的部分APN函数族。我们进一步关注平台函数类，给出了D-性质成立的条件。