两个调和数的差

我们证明了存在无限多的 $(m_k, n_k) \in \mathbb{N}^2$，使得调和数之差 $H_{m_k} - H_{n_k}$ 能良好逼近 1，即 $$\lim_{k \rightarrow \infty} \left| \sum_{\ell = n}^{m_k} \frac{1}{\ell} - 1 \right|\cdot n_k^2 = 0.$$ 这解答了 Erd\H{o}s 与 Graham 的问题。该构造利用调和数的渐近公式、$e$ 的有限小分数展开的精确性以及适当缩放后续收敛子列。我们还通过借助 Heilbronn、Danicic、Harman、Hooley 等人关于 $\min_{1 \leq n \leq N} \min_{m \in \mathbb{N}}\| n^2 \theta - m\|$ 的技术，给出了定量估计。