布尔与向量弯曲函数的设计理论方面

由 $(n,m)$-bent 函数构造设计有两种方法，称为平移设计和加法设计。在本文中，我们分析了对于布尔 bent 函数（即 $(n,1)$-bent 函数）和向量 bent 函数（即 $2\le m\le n/2$ 的 $(n,m)$-bent 函数），哪种等价关系更粗：扩展仿射等价，还是其关联平移设计与加法设计的同构。首先，我们观察到与布尔 bent 函数类似，向量 $(n,m)$-bent 函数的扩展仿射等价与加法设计的同构对于所有偶数 $n$ 和 $m\le n/2$ 是同一概念。进一步，我们证明了在所有 $n\ge6$ 时，存在扩展仿射不等价的 $n$ 变量布尔 bent 函数，其平移设计是同构的。这意味着布尔 bent 函数的平移设计同构是比扩展仿射等价更粗的等价关系。然而，我们在少量变量的向量 bent 函数中未观察到相同现象。我们对六变量中的所有向量 bent 函数进行了分类与枚举，并表明与布尔情形相反，无法从扩展仿射不等价的向量 $(6,m)$-bent 函数（$m\in\{ 2,3 \}$）中举出同构的平移设计。