关于 $P$-adic 域上的三次方程

我们给出了 depressed cubic equation 在域 $\bz_p^{*},\bz_p,\bq_p$ 中的可解性判据。我们证明，原则上 Cardano 方法并不总是适用于此类方程。此外，还给出了该 depressed cubic equation 在域 $\bz_p^{*},\bz_p,\bq_p$ 中的解的个数。由于 $\bbf_p\subset\bq_p$，我们推广了 J.-P. Serre \cite{JPSJ} 和 Z.H. Sun \cite{ZHS1,ZHS3} 关于有限域 $\bbf_p$ 上 depressed cubic equation 的结果。最后，我们刻画了所有可应用 Cardano 方法的 depressed cubic equation，并给出了这些三次方程的 $p$-adic Cardano 公式。