关于使用替换法构建分形空间的讨论

组合 Loewner 性质（combinatorial Loewner property）由 Bourdon 和 Kleiner 提出，作为一般分形及双曲群边界的准似对称不变的 Loewner 性质替代方案。虽然 Loewner 性质较为受限，但组合 Loewner 性质则相当普遍——Bourdon 和 Kleiner 证明了许多熟悉的分形及群边界都满足这一性质。如果空间 X 符合准似对称等价于 Loewner 空间，则其具有组合 Loewner 性质。Kleiner 于 2006 年推测：对于自相似分形，反向命题也成立——这希望导引众多新型 Loewner 空间的存在。我们驳斥了这一猜想，并给出第一个自相似、具组合 Loewner 性质且不符合准似对称等价于 Loewner 空间的实例。为此，我们引入一种称为迭代图系统（iterated graph systems, IGS）的自相似替换规则，灵感来自 Laakso 的工作。这构成了一类新型分形空间，可实现势能及其共形维数的闭式计算。这些空间在分析学中展现出丰富的行为，涉及扩散、Sobolev 空间、能量测度及共形维数。这些行为拓展了已知的 Cantor 集、戈维什（gasket）、Vicsek 集以及常被认为过于困难的地毯类空间的实例。尤其是由此构造产生的反驳 Kleiner 猜想的反例尤为有趣，因为它们开拓了研究非准似对称等价于 Loewner 空间的组合 Loewner 空间新领域的可能性。