关于幂等元的交换子

设 $T$ 是Banach空间 $X$ 上经由对合 $U$ 相似于 $- T$ 的算子。则 $U$ 将Banach空间 $X$ 分解为 $X = X_1 \oplus X_2$，关于该分解我们有 $U = \left(\begin{matrix} I_1 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{matrix} \right)$，其中 $I_i$ 是闭子空间 $X_i$ ($i=1, 2$) 上的恒等算子。此外，关于同一分解 $T$ 必具有形式 $T = \left(\begin{matrix} 0 & * \\ * & 0 \end{matrix} \right)$。在本注记中，我们考量 $T$ 何时为幂等元 $P = \left(\begin{matrix} I_1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right)$ 与 $X$ 上某个幂等元 $Q$ 的交换子这一问题。我们还确定了 $l^p$ 空间（$1 \le p \le \infty$）上单边移位的哪些标量倍数是幂等算子的交换子。