曲面上平坦 $\mathrm{GL}(1, \mathbb{R})$-丛的 Wilson 圈上的余括号

设 $S$ 为亏格 $g>0$ 的闭连通定向曲面。我们研究 $C^{\infty}(\mathrm{Hom}(\pi_1(S), \mathrm{GL}(1, \mathbb{R}))/\mathrm{GL}(1, \mathbb{R}))$ 的一个 Poisson 子代数 $W_1(g)$，即 $S$ 上平坦 $\mathrm{GL}(1, \mathbb{R})$-丛模空间上的光滑函数。存在从 Goldman Lie 代数到 $W_1(g)$ 的满 Lie 代数同态。我们对 $W_1(g)$ 上所有余括号按余边界进行分类，即计算 $H^1(W_1(g), W_1(g)\wedge W_1(g))\cong \mathrm{Hom}(\mathbb{Z}^{2g}, \mathbb{R})$。结果表明，不存在对应于 $W_1(g)$ 上 Turaev 余括号的上同调类。