平坦联络模空间上的 Batalin-Vilkovisky 结构

设 $\Sigma$ 为紧致有向 2-流形（可能有边界），令 $\mathcal G_{\Sigma}$ 为 $\Sigma$ 上闭有向曲线的自由同伦类线性张成，配备由曲线相交定义的 Goldman Lie 括号 $[\cdot, \cdot]_\mathrm{Goldman}$。Goldman 的一个定理给出了从 $(\mathcal G_{\Sigma}, [\cdot, \cdot]_\text{Goldman})$ 到平坦联络模空间 $\mathcal{M}_{\Sigma}(G)$（$G=U(N), GL(N)$）上函数的 Lie 同态 $\Phi^\mathrm{even}$，后者配备 Atiyah-Bott Poisson 括号。空间 $\mathcal{G}_{\Sigma}$ 还携带由曲线自交定义的 Turaev Lie 上括号 $\delta_\mathrm{Turaev}$。本文讨论如下自然问题：平坦联络模空间上何种几何结构对应于 Turaev 上括号？我们在如下情形给出构造性回答：对于 Lie 超群 $G$，其 Lie 超代数上具有奇不变标量积，且 $\partial\Sigma$ 非空，我们证明平坦联络模空间 $\mathcal{M}_{\Sigma}(G)$ 携带自然的 Batalin-Vilkovisky (BV) 结构，由显式组合 Fock-Rosly 公式给出。进一步，对于 queer Lie 超群 $G=Q(N)$，我们定义 BV-态射 $\Phi^\mathrm{odd}\colon \wedge \mathcal{G}_{\Sigma} \to \mathrm{Fun}(\mathcal{M}_{\Sigma}(Q(N)))$ 以替代 Goldman 映射，其同时捕获 Goldman 括号与 Turaev 上括号的信息。映射 $\Phi^\mathrm{odd}$ 利用 $Q(N)$ 上的“奇迹”函数构造。