关于单连通域上调和Bloch函数的Bloch范数与Bohr现象

在本文中，我们引入$\Omega$上调和$\alpha$-Bloch型映射类$\mathcal{B}^{*}_{\mathcal{H},\Omega}(\alpha)$，作为$\Omega$上调和$\alpha$-Bloch映射类$\mathcal{B}_{\mathcal{H},\Omega}(\alpha)$的推广，其中$\Omega$是复平面中任意适当的单连通域。我们研究了类$\mathcal{B}_{\mathcal{H},\Omega}(\alpha)$与$\mathcal{B}^{*}_{\mathcal{H},\Omega}(\alpha)$在任意适当的单连通域$\Omega$上以及包含$\mathbb{D}$的平移圆盘$\Omega_{\gamma}$上的若干有趣性质，其中$$\Omega_{\gamma}:=\bigg\{z\in\mathbb{C} : \bigg|z+\frac{\gamma}{1-\gamma}\bigg|<\frac{1}{1-\gamma}\bigg\}$$且$0 \leq \gamma <1$。我们建立了平移圆盘$\Omega_{\gamma}$上调和Bloch空间$\mathcal{B}_{\mathcal{H},\Omega _{\gamma}}(\alpha)$的Landau定理。对于$\mathbb{D}$中形如$f(z)=h(z) + \overline{g(z)}=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n + \overline{\sum_{n=1}^{\infty}b_nz^n}$、且Bloch范数$||f||_{\mathcal{H},\Omega, \alpha} \leq 1$（相应地$||f||^{*}_{\mathcal{H},\Omega, \alpha} \leq 1$）的$f \in \mathcal{B}_{\mathcal{H},\Omega}(\alpha)$（相应地$\mathcal{B}^{*}_{\mathcal{H},\Omega}(\alpha)$），我们定义空间$\mathcal{B}_{\mathcal{H},\Omega}(\alpha)$（相应地$\mathcal{B}^{*}_{\mathcal{H},\Omega}(\alpha)$）的Bloch-Bohr半径为最大的半径$r_{\Omega,f} \in (0,1)$，使得对所有$f \in \mathcal{B}_{\mathcal{H},\Omega}(\alpha)$（相应地$\mathcal{B}^{*}_{\mathcal{H},\Omega}(\alpha)$）及$r \leq r_{\Omega, \alpha}$有$\sum_{n=0}^{\infty}(|a_n|+|b_{n}|) r^n\leq 1$。我们研究了单连通域$\Omega$（包含$\mathbb{D}$）上类$\mathcal{B}_{\mathcal{H},\Omega}(\alpha)$与$\mathcal{B}^{*}_{\mathcal{H},\Omega}(\alpha)$的Bloch-Bohr半径。