关于CIR过程相关的倒向Kolmogorov方程

我们考虑倒向Kolmogorov方程经典光滑解的存在性 \begin{align*} \begin{cases} \partial_t u(t,x)=Au(t,x),& x\ge0,\ t\in[0,T],\\ u(0,x)=f(x),& x\ge0, \end{cases} \end{align*} 其中 $A$ 是CIR过程的生成元，即随机微分方程 \begin{equation*} X^x_t=x+\int_0^t\theta \bigl(\kappa-X^x_s\bigr)\,ds+\sigma\int _0^t\sqrt {X^x_s} \,dB_s, \quad x\ge0,\ t\in[0,T], \end{equation*} 的解，亦即 $Af(x)=\theta(\kappa-x)f'(x)+\frac{1}{2}\sigma^2xf''(x)$, $x\ge0$ ($\theta,\kappa,\sigma>0$)。Alfonsi \cite{Alfonsi} 证明，若初始函数 $f$ 具有多项式增长导数且光滑，则该方程具有偏导数具多项式增长的光滑解。他的证明主要基于CIR过程转移密度的解析公式，其形式为相当复杂的函数级数。本文中，对于满足 $\sigma^2\le4\theta\kappa$ 的CIR过程，我们基于CIR过程用平方Bessel过程表示及其可加性给出直接证明。