关于带 Dirichlet 边界条件的各向异性分数阶 Stefan 型问题

本文中，我们考虑在 Lipschitz 有界域 $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ 中的分数阶 Stefan 型问题，温度 $\vartheta=\vartheta(x,t)$ 具有时变 Dirichlet 边界条件，$\Omega^c\times]0,T[$ 上 $\vartheta=g$，焓 $\eta=\eta(x,t)$ 具有初始条件 $\eta_0$，在 $\Omega\times]0,T[$ 中由下式给出：$$\frac{\partial \eta}{\partial t} +\mathcal{L}_A^s \vartheta= f\quad\text{ 其中 }\eta\in \beta(\vartheta),$$其中 $\mathcal{L}_A^s$ 为分布意义下定义的各向异性分数阶算子：$$\langle\mathcal{L}_A^su,v\rangle=\int_{\mathbb{R}^d}AD^su\cdot D^sv\,dx,$$ $\beta$ 为极大单调图，$A(x)$ 为对称、严格椭圆且一致有界的矩阵，$D^s$ 为 $0<s<1$ 时的分布 Riesz 分数阶梯度。我们证明了唯一弱解的存在性及其相应的弱正则性。我们还考虑了当 $s\nearrow 1$ 时向经典局部问题的收敛性、当 $t\to\infty$ 时的渐近行为，以及通过变化极大单调图 $\beta$ 使两相 Stefan 型问题向单相 Stefan 型问题的收敛。