关于 Grove 与 Searle 的一个定理

Grove 与 Searle 的一个定理直接确立：具有维数不超过 8 的有效圆对称群的正曲率 2d 流形 M 具有正欧拉示性数 X(M)：不动点集 N 由偶维正曲率流形组成，且具有欧拉示性数 X(N)=X(M)。由 Berger 可知其非空。若 N 有一个余维 2 分量，Grove-Searle 迫使 M 属于 { RP^2d,S^2d,CP^d }。由 Frankel 可知，不可能有两个余维 2 的情形。在剩余情形中，Gauss-Bonnet-Chern 定理迫使所有情形均具有正欧拉示性数。这一简单证明尚未达到使用 Wilking 方法的 10 或更少的纪录，但它促使我们去分析不动点分量 N 的结构，特别是考察承认具有连通或几乎连通不动点集 N 的 U(1) 或 SU(2) 对称的正曲率流形。它们具有惊人的测地性质：不动点流形 N 与其每一点的焦集一致，且测地流可积。在完全一般性下，Lefschetz 不动点性质 X(N)=X(M) 与 Frankel 维数定理（对于 N 的两个不同连通分量 A,B，有 dim(M) 小于 dim(A) + dim(B)）在由更小分量构造 M 时已产生沉重约束。有可能 S^2d, RP^2d, CP^d, HP^d, OP^2, W^6,E^6,W^12,W^24 实际上是承认连续统对称性的偶维正曲率流形的完整列表。除射影空间外，已知情形的欧拉示性数总是 1、2 或 6，其中从 2 到 6 的跳跃出现在 Wallach 或 Eschenburg 流形 W^6,E^6，它们具有四个不动点分量 N=S^2 + S^2 + S^0，这是唯一已知的不属于 Grove-Searle 形式 N=N_1 或 N=N_1 + p（其中 N_1 连通）的情形。