关于与除数函数相关联的乘性函数在 B 类 5 的倍数整数集上的和

设 $d(n)$ 与 $d^{\ast}(n)$ 分别为整数 $n\geq1$ 的除数个数与酉除数个数。本文中，我们证明 \underset{n\in\mathcal{B}}{\underset{n\leq x}{\sum}}\frac{d(n)}{d^{\ast}% (n)}=\frac{16\pi% %TCIMACRO{\U{b2}}% %BeginExpansion {{}^2}% %EndExpansion }{123}\underset{p}{\prod}(1-\frac{1}{2p% %TCIMACRO{\U{b2}}% %BeginExpansion {{}^2}% %EndExpansion }+\frac{1}{2p^{3}})x+\mathcal{O}\left( x^{\frac{\ln8}{\ln10}+\varepsilon }\right) ,~\left( x\geqslant1,~\varepsilon>0\right) , 其中 $\mathcal{B}$ 为如下整数构成的集合：该整数本身不是 $5$ 的倍数，但其某位数字重排后为 $5$ 的倍数。