关于 Blaschke-Leichtweiss 定理的一个加强形式

Blaschke-Leichtweiss 定理（Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 75: 257-284, 2005）指出，在二维球面空间 ${\mathbb S}^2$ 中，宽度为 $w$ 的面积最小的常宽凸域对所有 $0<w\leq\frac{\pi}{2}$ 均为球面 Reuleaux 三角形。本文将此结果推广到 ${\mathbb S}^2$ 的宽 $r$-圆盘域族，其中 $0<r\leq\frac{\pi}{2}$。此处宽 $r$-圆盘域是指半径为 $r$ 的球面圆盘的交，且这些圆盘的圆心包含于其交集中。这给出了 Blaschke-Leichtweiss 定理的一个新的初等证明。此外，我们研究了宽 $r$-圆盘域的高维类比，称为宽 $r$-球体的物体。特别地，我们对所有 $d\geq 2$ 确定了它们在球面 $d$ 维空间 ${\mathbb S}^d$ 中的最小球面宽度（相应地，内切半径）。并且表明，任意最小体积的宽 $r$-球体物体在 ${\mathbb S}^d$（$d\geq 2$）中均为宽度 $r$ 的常宽物体。