关于Cartwright与Field的一个结果

设$M_{n,r}=(\sum_{i=1}^{n}q_ix_i^r)^{\frac {1}{r}}, r\neq 0$与$M_{n,0}=\displaystyle \lim_{r \rightarrow 0}M_{n,r}$为$n$个非负数$x_i, 1 \leq i \leq n$的加权幂平均，其中$q_i > 0$且满足$\sum^n_{i=1}q_i=1$。令$r>s$，Cartwright与Field的一个结果表明当$r=1, s=0$时，\begin{align*} \frac {r-s}{2x_n}\sigma_n \leq M_{n,r}-M_{n,s} \leq \frac {r-s}{2x_1} \sigma_n, \end{align*}其中$x_1=\min \{x_i \}, x_n=\max \{x_i \}, \sigma_n=\sum_{i=1}^{n}q_i(x_i-M_{n,1})^2$。本文中，我们确定了使上述右侧不等式成立的所有数对$(r,s)$，以及使上述左侧不等式成立的所有满足$-1/2 \leq s \leq 1$的数对$(r,s)$。