关于集合迹的极值问题

给定两个非负整数$n$和$s$，定义$m(n,s)$为最大整数，使得在每个$n$个顶点且至多$m(n,s)$条边的超图$\mathcal{H}$中，存在顶点$x$满足$|\mathcal{H}_x|\geq | E(\mathcal{H})| -s$，其中$\mathcal{H}_x=\{H\setminus\{x\}:H\in E(\mathcal{H})\}$。该问题由F"uredi与Pach以及Frankl与Tokushige提出。虽然最初结果仅针对$s$的特定小值，Frankl对所有$d\in\mathbb{N}$且$d\mid n$确定了$m(n,2^{d-1}-1)$。随后目标变为确定更大$c$下的$m(n,2^{d-1}-c)$。Frankl与Watanabe确定了$c\in\{0,2\}$时的$m(n,2^{d-1}-c)$。其他一般性结果此前未知。我们的主要结果阐明了远离2的幂时的情况：我们证明对$d\geq 4c$且$d\mid n$有$m(n,2^{d-1}-c)=\frac{n}{d}(2^d-c)$，并给出例子表明该等式在$c=d$时不成立。该问题的另一研究路线是确定小$s$时的$m(n,s)$。在此方向上，我们的第二个结果确定了$c\in\{3,4\}$时的$m(n,2^{d-1}-c)$。这解决了小$s$下更多问题实例，特别是解决了Frankl与Watanabe的一个猜想。