非负和实数有限集的最小值问题

设 $n$ 和 $r$ 为两个整数，满足 $0 < r \le n$；我们用 $\gamma(n,r)$ [$\eta(n,r)$] 表示和式 $\sum_{1=1}^n a_i \ge 0$ 的非负部分和的最小 [最大] 个数，其中 $a_1, \cdots, a_n$ 是任意选取的 $n$ 个实数，且其中有 $r$ 个非负，其余 $n-r$ 个为负。受 Manickam、Mikl\"os 和 Singhi 在 1987 年 \cite{ManMik87} 和 1988 年 \cite{ManSin88} 提出的几个有趣的极值组合和问题的启发，我们研究了以下两个问题：\noindent$(P1)$ {\it 对于每个 $n$ 和 $r$，$0 < r \le n$，$\gamma(n,r)$ 和 $\eta(n,r)$ 的值是多少？} \noindent$(P2)$ {\it 如果 $q$ 是一个满足 $\gamma(n,r) \le q \le \eta(n,r)$ 的整数，我们能否找到 $n$ 个实数 $a_1, \cdots, a_n$，使得其中有 $r$ 个非负，其余 $n-r$ 个为负，且 $\sum_{1=1}^n a_i \ge 0$，并且由这些数形成的非负和的数量恰好为 $q$？} \noindent 我们证明了问题 $(P1)$ 的解由 $\gamma(n,r) = 2^{n-1}$ 和 $\eta(n,r) = 2^n - 2^{n-r}$ 给出。对于后一个问题，我们提供了一个部分结果，表明对于加权布尔映射，答案是肯定的。关于问题 $(P2)$，这些映射（我们将在本文中介绍）可以被视为多重集 $a_1, \cdots, a_n$（满足 $\sum_{1=1}^n a_i \ge 0$）的推广。更精确地说，我们证明对于每个满足 $\gamma(n,r) \le q \le \eta(n,r)$ 的 $q$，存在一个加权布尔映射，其恰好有 $q$ 个正布尔值。