论 Astorg 与 Boc Thaler 的问题

Astorg 与 Boc Thaler 研究了某些关于 $\mathbb{C}^2$ 上切向于恒等式的 skew-product 动力学，其包含两个实参数 $\alpha>1$ 和 $\beta$，这两个参数源自其系数。他们证明，如果存在一个递增的正整数序列 $(n_k)_{k\geqslant 1}$ 使得 $(\sigma_k)_{k\geqslant 1}:=(n_{k+1}-\alpha n_k-\beta\ln n_k)_{k\geqslant 1}$ 收敛，那么 $f$ 就拥有秩为一的漫游域。他们还证明，对 $\alpha>1$ 且具有 Pisot 属性的情形，若 $\theta:=\frac{\beta\ln\alpha}{\alpha-1}$ 为有理数，则存在序列 $(n_k)_{k\geqslant 1}$ 使得 $(\sigma_k)_{k\geqslant 1}$ 收敛于一个循环。他们询问该条件是否是必要的。当 $\alpha$ 为代数数时，我们肯定回答了 Astorg 与 Boc Thaler 的问题。进一步地，设 $P(x)\in\mathbb{Z}[x]$ 为 $\alpha$ 的最小多项式， 我们证明 $\theta\in\frac{1}{P(1)}\mathbb{Z}$ 是 $(n_k)_{k\geqslant 1}$ 使得 $(\sigma_k)_{k\geqslant 1}$ 收敛的必要且充要条件。结合 Astorg 与 Boc Thaler 的工作，我们的结果为在 $\mathbb{C}^2$ 上具有秩为一漫游域的 skew-product 提供了新的显式实例。