关于《苏格兰手册》中涉及二阶偏导数的 Mazur 问题

我们对《苏格兰手册》中涉及二阶偏导数的 Mazur 问题进行了评注。证明了如果定义在矩形上的实变量函数 $f(x,y)$ 关于 $y$ 具有连续导数，且对于几乎所有的 $y$，函数 $F_y(x):=f'_y(x,y)$ 具有有界变差，则在矩形上几乎处处存在偏导数 $f"_{yx}$。我们构造了一个分别二次可微的函数，其偏导数 $f'_x$ 关于第二个变量在一个正测度集上是不连续的。这否定了该 Mazur 问题。