关于 El-Zahar 与 Erdős 的一个问题

图 $G$ 的两个子图 $A,B$ 若顶点不交且它们之间没有边相连，则称其为反完全的。如下问题是否为真：若 $G$ 是团数有界且色数充分大的图，则它有两个均为大色数的反完全子图？这是 El-Zahar 与 Erd\H{o}s 于 1986 年提出并至今未决的问题。若是如此，则至少应存在两个均为大最小度的反完全子图，而那是我们的结果之一。我们证明了该问题的两个变体。第一，一个加强：可要求两个子图之一具有大色数，即对所有 $t, c\ge 1$，存在 $d\ge 1$，使得若 $G$ 色数至少为 $d$ 且不包含完全图 $K_t$ 作为子图，则存在反完全子图 $A,B$，其中 $A$ 最小度至少为 $c$ 且 $B$ 色数至少为 $c$。第二，我们考察若将 $G$ 具有充分大色数的假设替换为 $G$ 具有充分大最小度的假设会发生什么。结合排除 $K_t$，这{\em 不足以}保证两个均为大最小度的反完全子图；但若以排除完全二部图 $K_{t,t}$ 替代排除 $K_t$ 则成立。更确切地：对所有 $t, c\ge 1$，存在 $d\ge 1$，使得若 $G$ 最小度至少为 $d$ 且不包含完全二部图 $K_{t,t}$ 作为子图，则存在两个最小度均至少为 $c$ 的反完全子图。