关于一族无钻石强正则图

部分四边形 ${\mathsf{PQ}}(s, t, \mu)$ 的存在性等价于无钻石强正则图 ${\mathsf{SRG}}(1+s(t+1)+s^2t(t+1)/\mu, s(t+1), s-1, \mu)$ 的存在性。最近，已有结果表明，存在 ${\mathsf{PQ}}(2, (n^3+3n^2-2)/2, n^2+n)$ 当且仅当 $n\in\{1, 2, 4\}$。设 $\mathcal{S}$ 是一个 ${\mathsf{PQ}}(3,(n+3)(n^2-1)/3, n^2+n)$，使得对任意两个不共线的点 $p_1$ 和 $p_2$，存在一个点 $q$ 与 $p_1$、$p_2$ 均不共线，且与所有同时与 $p_1$ 和 $p_2$ 共线的点也不共线。本文中，我们证明 $\mathcal{S}$ 仅当 $n\in\{-2, 2, 3\}$ 时存在，且可能 $n=10$ 时也存在。