关于具有大素因子的移位素数猜想 II

设 $\mathcal{P}$ 为素数集合，$\pi(x)$ 为不超过 $x$ 的素数个数。设 $P^+(n)$ 为 $n$ 的最大素因子，约定 $P^+(1)=1$，且 $$T_c(x)=\#\left\{p\le x:p\in \mathcal{P},P^+(p-1)\ge p^c\right\}.$$ 受 Chen 和 Chen 于 2017 年提出的一个猜想启发，我们证明了对于任意 $8/9\le c<1$，有 $$\limsup_{x\rightarrow\infty}T_c(x)/\pi(x)\le 8(1/c-1),$$ 这显然意味着 $$\limsup_{x\rightarrow\infty}T_c(x)/\pi(x)\rightarrow 0, \quad \text{as}~c\rightarrow1.$$