关于Levesque与Waldschmidt的一个猜想

E. Thomas于1990年求解了最早的参数化Thue方程之一，即整数上的$$\left| X^3 - (n-1)X^2 Y - (n+2) XY^2 - Y^3 \right| = 1.$$若将其解释为范形式方程，则可写作$$\left| N_{K/\mathbb{Q}}\left( X - \lambda_0 Y \right) \right| = \left| \left( X-\lambda_0 Y \right) \left( X-\lambda_1 Y \right) \left( X-\lambda_2 Y \right) \right| =1$$其中$\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2$为定义不可约多项式的根，$K$为对应的数域。\par\medskip Levesque与Waldschmidt用指数参数$s$对该范形式方程进行扭曲，并除其他外考察了方程$$\left| N_{K/\mathbb{Q}}\left( X - \lambda_0^s Y \right) \right| = 1.$$他们有效地求解了该方程，并猜想引入第二个指数参数$t$并考察$$\left| N_{K/\mathbb{Q}}\left( X - \lambda_0^s\lambda_1^t Y \right) \right| = 1$$不会改变其可有效解性。\par\medskip 我们欲部分证实此猜想，条件是$$\min\left( \left| 2s-t \right|, \left| 2t-s \right|, \left| s+t \right| \right) > \varepsilon \cdot \max\left( \left|s\right|, \left|t\right| \right) > 2,$$即两个指数在特定情形下不会近乎相消。