关于 Levesque 和 Waldschmidt 的猜想 II

与 Shank 的最简三次域概念相关，参数化丢番图方程族 $$x^3 - (n-1) x^2 y - (n+2) xy^2 - 1 = \left( x - \lambda_0 y\right) \left(x-\lambda_1 y\right) \left(x - \lambda_2 y\right) = \pm 1,$$ 被 Thomas 有效求解，随后被 Mignotte 完全解决。Levesque 和 Waldschmidt 的一个开放猜想指出，取这些参数化丢番图方程并对其进行不止一次而是两次的扭曲，即考察 $$f_{n,s,t}(x,y) = \left( x - \lambda_0^s \lambda_1^t y \right) \left( x - \lambda_1^s\lambda_2^t y \right) \left( x - \lambda_2^s\lambda_0^t y \right) = \pm 1,$$ 将保持与 Thomas 在原始情形或 Levesque 和 Waldschmidt 在一次扭曲（$t = 0$）情形下所得相似的结果；即非平凡解只能出现在参数较小的方程中。在假定指数 $s, t$ 的绝对值与基本参数 $n$ 相比不太大的情况下，我们证实了这一猜想。