对Mueller和Schmidt关于Thue不等式猜想的贡献

设 $F(X,Y)=\sum\limits_{i=0}^sa_iX^{r_i}Y^{r-r_i}\in\mathbb{Z}[X,Y]$ 为次数 $r=r_s\geq 3$ 的型，在 $\mathbb{Q}$ 上不可约，且至多具有 $s+1$ 个非零系数。Mueller和Schmidt证明了Thue不等式 $$|F(X,Y)|\leq h$$ 的解的个数为 $\ll s^2h^{2/r}(1+\log h^{1/r})$。他们猜想 $s^2$ 可被 $s$ 替代。令 $$\Psi = \max_{0\leq i\leq s} \max\left( \sum_{w=0}^{i-1}\frac{1}{r_i-r_w},\sum_{w= i+1}^{s}\frac{1}{r_w-r_i}\right).$$ 则我们证明 $s^2$ 可被 $\max(s\log^3s, se^{\Psi})$ 替代。我们还证明若 $|a_0|=|a_s|$ 且对 $1\leq i\leq s-1$ 有 $|a_i|\leq |a_0|$，则 $s^2$ 可被 $s\log^{3/2}s$ 替代。特别地，若 $a_i\in\{-1,1\}$ 此结论成立。