关于 J. Shallit 一个涉及类 Apéry 数的猜想

令 $a(n)=\sum\limits_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\binom{n+k}{k}$，且 $b(n)=v_{3}(a(n))$，对所有整数 $n\geqslant 0$，其中 $v_{3}$ 为 $3$-进赋值。在本工作中，我们将证实 J. Shallit 于 2000 年提出的一个关于 $b(n)$ 的公式。作为应用，我们证明序列 $(b(n))_{n\geqslant 0}$ 是 $3$-正则的。