仿射三维空间中的一类Danielewski曲面

L. Makar-Limanov 计算了由方程 $x^{n}z-P(y)=0$ 定义的 $\mathbb{C}^{3}$ 中曲面的自同构群，其中 $n\geq1$ 且 $P(y)$ 为非零多项式。A. Crachiola 对定义在任意基域上、由方程 $x^{n}z-y^{2}-h(x)y=0$ 定义的曲面（其中 $n\geq2$ 且 $h(0)\neq0$）也得到了类似结果。本文考虑更一般的由方程 $x^{n}z-Q(x,y)=0$ 定义的曲面，其中 $n\geq2$ 且 $Q(x,y)$ 是以任意基域 $k$ 中元素为系数的多项式。我们在这些曲面中刻画出 Danielewski 曲面并计算其自同构群。我们研究这些曲面在仿射三维空间中的闭嵌入。我们证明一般而言它们的自同构不能延拓到环境空间。最后，我们给出 $\mathbb{C}^{3}$ 中某曲面上 $\mathbb{C}^{*}$-作用的显式例子，该作用可全纯延拓但不能代数延拓为 $\mathbb{C}^{3}$ 上的 $\mathbb{C}^{*}$-作用。