双曲型仿射 $\mathbb{G}_m$-曲面的刻画

在本注记中，我们证明：若 $S$ 是一个容许 $\mathbb{G}_a$-作用的双曲型非环面仿射 $\mathbb{G}_m$-曲面，且 $X$ 是一个仿射不可约簇，使得 $Aut(X)$ 作为抽象群同构于 $Aut(S)$，则 $X$ 是一个双曲型 $\mathbb{G}_m$-曲面。进一步，我们表明光滑 Danielewski 曲面 $Dp = \{ xy = p(z) \} \subset \mathbb{A}^3$（其中 $p$ 无重根）由其自同构群所决定，该自同构群被视为仿射不可约簇范畴中的 ind-群。